Dark matter particles in intense laser fields / DARKMAT-LASER

Project type: RDI
ELI-NP thematic: LGE/V - Search for sub-eV Dark Matter candidates; LGE/V.2 - Extreme high vacuum technologies; LGE/II.3 - QED in Vacuum with PW level lasers
Contract number: ELI_07/01.10.2020
Project duration: 16.10.2020-15.10.2023

Team:

Dr. Dragos-Victor Anghel (director)

Dr. Andrei Patrascu (key person)

Dr. Daniel Ursescu (team member)

Ms. Amanda Teodora Preda (MSc student, team member)

Contact: Dragos-Victor Anghel, dragos(at)theory(dot)nipne(dot)ro

Versiunea in Romana mai jos

Abstract:

Part of the project will involve various methods of restricting the parameter space of the axion models. Dr. Andrei T. Patrascu will work on the novel connection relating quantum information and high energy physics based on a model he developed and published (Phys. Lett. B 786, 1, 2018). The main idea is to notice that topological correction to the axion mass has a significant impact on the mass adding new restrictions and therefore narrowing the search window. Such topological corrections are seen as instantons in quantum field theory and in gravity. Due to the ER-EPR duality, such terms can be represented in terms of quantum information gates and hence the entanglement structure of the theory becomes important. This leads us to study, by means of the Ryu Takayanagi conjecture but also by means of a Replica Trick approach, the entanglement entropy in theories closely related to those consisting of axion fields in topologically nontrivial spacetime geometries. The work of Andrei Patrascu will be linked to new ways of studying beyond the standard model effects that will contribute to the axion mass, particularly those that can be related to quantum information. On the more conservative side, he will establish the computational framework for the standard axion production cross-sections and the quantum field theoretical calculations necessary for that. The observation that quantum information plays an essential role in beyond standard model physics and in particular in high energy physics has been discussed by A. T. Patrascu in his articles J. High En. Phys. 2017, 46 (2017) and J. High En. Phys. 2017, 74 (2017), where the role of entanglement is described in relation to wormhole geometries and the ER-EPR conjecture is proved (completely at least in one direction) via the Mayer Vietoris theorem. This work will lead to the field of the holographic principle and the calculation of entanglement entropy for boundary conformal field theories as well as potential extensions thereof and the study of nontrivial topologies inside the bulk space, for example, the construction of bulk AdS Wormhole geometries. All these clearly beyond standard model contributions will be focused on the determination of axion masses and on the masses of other dark matter candidates.


Another part of the project will be directly devoted to the theoretical investigation of dark matter particle detection in intense laser fields. Important candidates for dark matter particles are axions, axion-like particles (ALPs), and Majorana particles, which possess only toroidal moments. Such particles interact with intense electric and magnetic fields, generating photons, which then may be detected. It is interesting to note that while electric and magnetic dipoles interact in general with the electromagnetic fields, toroidal moments interact only with currents and displacement currents (i.e., the time variation of the electric field). Therefore, the laser fields, providing intense time-varying electric and magnetic fields, are perfect candidates for the detection of (particles with only) toroidal moments or toroidal polarizability. Besides the study of the interaction of dark matter particles with the laser fields and the analysis of the detection possibilities, we shall also analyze the mathematical properties of the toroidal moments and of the toroidal momentum operator (see D. V. Anghel, J. Phys. A 30, 3515, 1997). This will enable us to find more subtle properties of such particles and, eventually, specific quantization conditions—but this would be one of the high risk-high reward aspects of the project.

Objectives:

  • Since Majorana particles (one of the best candidates for dark matter particles)  possess only toroidal moments,  the first objective is to thoroughly investigate the quantum mechanical aspects of these concepts. We shall start with the nonrelativistic limit and study the toroidal moment operator. If this represents indeed a quantum mechanical observable, then it should be self-adjoint, otherwise, we may try in vain to apply this important concept to elementary particles. In this respect, we have as a starting point the paper J. Phys. A 30, 3515 (1997) where one of us found the eigenfunctions of the toroidal momentum operator.
  • Another important objective is the study of the detection of particles with toroidal moments in intense laser fields, which may lead to the detection of dark matter particles—or, at least to the theoretical possibility to do it in the present experimental facility. This also leads to the theoretical study of the detection of axions and axion-like particles in intense laser fields.
  • One last topic is to identify new connections between high energy physics beyond the standard model phenomenology on one side and quantum information or quantum circuit complexity on the other side, with a focus on the ER-EPR duality and a quantum information interpretation of wormholes. This objective will directly impact the search for dark matter candidates like axions at ELI-NP. This may also lead to a better understanding of the connection between wormhole geometry and axion fields from a quantum complexity point of view, restricting axion parameters by using the bounds on complexity growth as it is related to wormhole length

 

Results:

 1. On the quantum properties of the toroidal moments.

 

In 1957, Zeldovich introduced a new type of electromagnetic interaction, in order to explain the parity nonconservation in β-decays [1]. Since neither electric nor magnetic multipoles lead to an interaction of that type, he introduced for the first time the notion of "anapole", a type of distribution that he intuitively described as a toroidal solenoid (a wire solenoid curved into a torus). In the context of classical electrodynamics, Dubovik and Cheshkov proposed in the late 1960s that a whole new multipole family has to be introduced to complement the electric and magnetic moments and they reached the conclusion that a dynamic nonradiating anapole can only be achieved if toroidal moments are taken into consideration [2,3]. Because it is difficult to isolate this weak radiative correction experimentally, the anapole moment was measured in atomic Cesium only decades after its theoretical prediction [4]. Although overlooked for a long time, it has been realized that the toroidal moments and anapole configurations emerged as an important tool to describe the properties of systems at all scales, from particle physics to the physics of macroscopic systems and this new field expanded rapidly [5,6]

 

One of the most intriguing theoretical discoveries in this field was that particles that may be good candidates for dark matter constituents can only have toroidal moments and also the CPT invariance requires that the electromagnetic structure of Majorana fermions consists only of toroidal moments [7,8,9]. If the toroidal moment corresponds to a quantum observable, the operator should be self-adjoint. In a previous article [10], we have shown that the operator is hypermaximal (it admits several self-adjoint extensions) and a complete set of eigenfunctions was found. Our objective is to investigate this problem further, since, if some particles have intrinsic toroidal moments, we should know what values these moments can have and if they are precisely determined. We shall study the quantum properties of the toroidal momentum operator, like self-adjointness, commutators, spectrum, etc. and extend this treatment to the second quantization formalism since we should see how we can describe such particles in a consistent many-body formalism. 

 

Throughout the first submitted article, we analyzed the quantum operator which corresponds to the projection of the toroidal moment onto the z axis, using two ”natural sets of coordinates" which brings the operator to a simpler form. These transformations between coordinates enable us to express all the familiar operators, like position, momenta, and the Hamiltonian in terms of operators in the natural coordinates of the toroidal moment operator. The formalism presented here allows one to find any number of operators commuting to the aforementioned operator (and commuting with each-other) and to form complete sets of compatible observables, with complete orthonormal sets of eigenfunctions. Although the general expressions are complicated, in specific, physically relevant cases, they may be substantially simplified (one such case is when the quantum particle exists in a thin torus).

 

 [1] Ya. B. Zeldovich. Electromagnetic interaction with parity violation. Sov. Phys.-JETP, 6:1184, 1958.

[2] V M Dubovik and A A Cheshkov. Form-factors and multipoles in electromagnetic interactions. Sov. Phys.

[3] V M Dubovik and A A Cheshkov. Multipole expansion in classical and quantum field theory and radiation.Sov. J. Particles Nucl., 5.

[4] C. S. Wood, S. C. Bennett, D. Cho, B. P. Masterson, J. L. Roberts, C. E. Tanner, and C. E. Wieman. Measurement

[5] Nikitas Papasimakis, V.A. Fedotov, Vassili Savinov, T.A. Raybould, and N.I. Zheludev. Electromagnetic toroidal

[6] V. V. Flambaum. Nuclear anapole moment and tests of the standard model. AIP Conference Proceedings,477(1):14, 1999.

[7] C. M. Ho and R. J. Scherrer. Anapole dark matter. Phys. Lett. B, 722:341, 2013.

[8] Luis G. Cabral-Rosetti, Myriam Mondragon, and Esteban Reyes-Perez. Anapole moment of the lightest neutralinoin the cMSSM. Nucl. Phys. B, 907:1, 2016.

[9] E. E. Radescu. On the electromagnetic properties of majorana fermions. Phys. Rev. D, 32:1266, 1985.

[10] D. V. Anghel. Mathematical considerations regarding the toroidal momentum operator. J. Phys. A: Math.

 

 

2. On the calculation of the dark matter parameter corrections from quantum information

 

Since the project started, we studied the methods through which beyond standard model parameters can be described using methodology originating in quantum information theory. In order to advance with this study, we analyzed the phase structure of certain systems described by non-abelian gauge theories. Particularly we have studied single and double trace operators of which we know they determine the wormhole geometry (spacetime geometry with non-trivial topology). Until now we tried to analyze these operators from the perspective of string-gauge duality. According to the idea mentioned in Refs. [1,2] (but also [3]), if we analyze from the perspective of a gauge theory on the lattice in the limit of strong coupling, the elementary excitations arise in the form of closed strings made of color-electric fluxes. In the presence of quarks, these closed strings open and their ends are fixed on quarks, a phenomenon participating in the understanding of confinement. In SU(N) gauge theories the interaction between strings in the high N limit is weak. This suggests that in the continuum limit the best description of the gauge theory will imply flux lines (strings) and not fields. We, therefore, expect for the general case situation that an exact duality will arise between strings and gauge theories. The other way around, superstrings can be seen as flux lines of a universal unknown gauge theory. From this perspective, we can see spacetime as an emerging structure in a quasi-classical limit of a certain abstract gauge theory without a clear spacetime dependence. Our observables will be sets of gauge invariant operators formed from products of elementary operators. To find a dynamical connection between strings and such operators (words, in the denomination of [1]) is a fundamental problem of the string-gauge duality which led us via a set of limit cases to the open-closed string duality and to AdS/CFT.

In these few months, Andrei Patrascu wrote an article [7] in which he presented how to construct in general a precursor (non-local) operator using local bulk operators. The main idea is based on a problem that became a reference for neural network experiments [4], namely the so called “hat problem” or “coordinated inference problem”. This is an interesting mathematical problem that wishes the development of a guessing prescription for certain colors without any direct information upon them and with only a limited one-directional signaling method. This problem has an interesting application in the situation described in [6] which implies a pre-arrangement of observers in the bulk space although it does not state precisely how such a pre-arrangement is obtained. It seems that the problem must include an optimization technique that takes as input an entanglement structure and produces non-local operators associated with local bulk observables, capable of predicting (inferring) the bulk structure before it can reach the bulk in a causal manner. This procedure is based on neural networks and can be used to find new possible string-gauge dualities. This is particularly important as it allows the optimization of a field theory from an entanglement structure and can lead to entanglement gates specific to quantum information tools that determine the parameters of a field theory beyond the standard model.

 

[1] A. M. Polyakov, Gauge Fields and Space-Time, arXiv hep-th/0110196 (2001)

[2] A. M. Polyakov, Int. Journ. Of Mod. Phys. A 14, 645 (1999) hep-th/9809057

[3] A. M. Polyakov, V. Rychkov, Nucl. Phys. B 581, 116 (2000) hep-th/0002106

[4] J. N. Foerster, Y. M. Assael, N. de Freitas, S. Whiteson, Advances in Neural Information Processing Systems 29 (NIPS 2016)

[5] Christopher S. Hardin, Alan D. Taylor, DOI https://doi.org/10.1007/978-3-319-01333-6

[6] J. Polchinski, L. Susskind, N. Toumbas, Phys. Rev. D60 (1999) 084006

[7] A. T. Patrascu,  arXiv:2010.06364, submitted to Nuclear Phys. B.

 

Versiunea in limba romana

Rezumat:

O parte a proiectului se concentreaza pe diferite metode de restrângere a spațiului parametrilor pentru modelele care descriu axionii. Dr. Andrei T. Patrascu va lucra la o conexiune nouă ce leagă domeniul informației cuantice de fizica energiilor înalte, bazată pe un model pe care l-a dezvoltat și despre care a publicat anterior (Phys. Lett. B 786, 1, 2018). Ideea principală este legată de corecția topologică la masa axionului, care are un impact semnificativ și astfel adaugă noi restricții care permit îngustarea intervalului de valori posibile. Astfel de corecții topologice sunt considerate instantanee în teoriile cuantice de câmp și gravitație. Datorita dualității ER-EPR, astfel de termeni pot fi reprezentați ca porți în informația cuantică, deci structura de entanglement a teoriei devine importantă. Asta ne conduce să studiem – prin intermediul ipotezei Ryu Takayanagi și a abordării Replica Trick – entropia de entanglement în teorii care sunt strâns legate de cele care se concentreaza pe câmpuri de axioni în geometrii spațio-temporale care sunt nontriviale din punct de vedere topologic. Activitatea lui Andrei Pătrașcu se va axa pe noi metode, Dincolo de Modelul Standard, de studiere a efectelor care contribuie la masa axionului, în particular cele care pot fi asociate cu informația cuantică. Din perspectiva unei abordări mai conservatoare, el va stabili cadrul computațional pentru secțiunile eficace standard de producere a axionilor și se va ocupa și de calculele de teorie cuantică de câmp necesare pentru asta. Observația că informația cuantică joacă un rol esențial în modelele care merg dincolo de Modelul Standard, în particular în fizica energiilor înalte, a fost discutată de A. T. Patrascu in articolele J. High En. Phys. 2017, 46 (2017) și J. High En. Phys. 2017, 74 (2017), unde rolul entanglement-ului este descris în relație cu geometria găurilor de vierme, iar ipoteza ER-EPR este demonstrată (complet, cel puțin într-o direcție) cu ajutorul teoremei Mayer Vietoris. Această activitate de va conduce la un domeniu de cercetare bazat pe principiul holografic și va ajuta la calcularea entropiei de entanglement pentru teorii conforme de câmp la frontieră, precum și la dezvoltarea unor extensii alte teoriilor menționate anterior și chiar la studiul unor topologii netriviale în spațiul „bulk”. Toate aceste contribuții care merg dincolo de Modelul Standard se vor concentra pe determinarea masei axionului și a altor particule candidate pentru materia întunecată.

 


 

O altă etapă a proiectului este devotată investigării teoretice a detecției particulelor de materie întunecată în câmpuri laser intense. Particule care sunt candidați notabili pentru compoziția materiei întunecate, cum ar fi axionii sau particulele Majorana, au numai momente toroidale. Astfel de particule interacționează cu câmpuri electrice și magnetice intense, generând fotoni, care pot fi detectați ulterior. Este important de notat că, în timp ce dipolii electrici și magnetici interacționează în general cu câmpul electromagnetic, momentele toroidale interacționează numai cu curenți și curenți de deplasare (variații în timp ale câmpului electric). Astfel, câmpurile laser, care sunt caracterizate de câmpuri electrice și magnetice puternic variabile în timp, sunt candidații perfecți pentru a face posibila detecția particulelor cu moment toroidal sau polarizabilitate toroidală. Pe lângă studiul interacției particulelor de materie întunecată cu câmpurile laser și analizarea posibilităților de detecție, vom analiza și proprietățile matematice ale operatorului cuantic ce corespunde momentului toroidal (vezi D. V. Anghel, J. Phys. A 30, 3515, 1997 ). Asta ne va permite să găsim anumite proprietăți mai subtile are particulelor în discuție și, eventual, condiții specifice de cuantificare – acesta ar putea fi unul din cele mai importante rezultate ale proiectului.

 

Obiective:

  • Deoarece particulele Majorana au momente toroidale, primul obiectiv este investigarea aspectelor de ordin cuantic ale acestora. Vom începe în limita nerelativistă și vom analiza operatorul care corespunde momentului toroidal. Dacă acesta corespunde unei observabile, atunci ar trebui să fie autoadjunct, altfel am încerca în mod inutil să aplicăm acest concept pentru particule elementare. Din acest punct de vedere, avem un punct de început într-un articol publicat anterior de Dr. Dragoș-Victor Anghel (J. Phys. A 30, 3515 , 1997), unde au fost găsite funcțiile proprii ale operatorului moment toroidal.

  • Un alt obiectiv important este studiul detecției particulelor cu momente toroidale în câmpuri laser intense, care ar putea duce la detecția particulelor care constituie materia întunecată, sau, cel puțin, la o posibilitate teoretică de detecție în cadrul unui experiment. Aceste aspecte duc, de asemenea, la posibilitatea detectării axionilor (sau a particulelor asemănătoare axionilor – „axion-like particles”) în câmpuri laser intense.

  • Un alt subiect de interes este identificarea unor conexiuni dintre fizica energiilor înalte dincolo de fenomenologia Modelului Standard, pe o parte, și informația cuantică și circuitele cuantice, pe cealaltă parte, concentrându-ne pe dualitatea ER-EPR și pe interpretarea din informația cuantică a găurilor de vierme. Acest obiectiv va avea un impact direct asupra detecției particulelor care ar putea constitui materia întunecată in cadrul ELI-NP.

 

 

Rezultate:

Operatorul moment toroidal:

În 1957, Zeldovich a introdus un nou tip de interacție electromagnetică pentru a explica violarea parității în dezintegrările de tip β [1]. Deoarece multipolii de tip electric sau magnetic nu puteau duce la o interacție de acel tip, el a introdus pentru prima dată noțiunea de „anapol”, o distribuție pe care a descris-o în mod intuitive ca un solenoid toroidal (un solenoid curbat în formă de tor). În contextul electrodinamicii clasice, Dubovik și Cheshkov au propus la sfârșitul anilor 1960 o nouă familie de multipoli, pe langă multipolii obișnuiți, electrici și magnetici, ajungand la concluzia că o configurație de anapol dynamic – care nu emite radiație – poate fi obținută doar dacă momentele toroidale sunt luate în considerare [2,3]. Deoarece este dificil să se izoleze această corecție radiativă din punct de vedere experimental, momentul de anapol a fost măsurat la zeci de ani după prezicerea lui teoretică [4]. Deși au fost ignorate pentru mult timp, momentele toroidale și configurațiile de anapol s-au dovedit a fi esențiale în descrierea proprietăților sistemelor la orice scală, de la fizica particulelor la fizica sistemelor macroscopice, iar acest domeniu nou s-a dezvoltat rapid în ultimii ani [5,6].

Una dintre cele mai relevante descoperiri teoretice pentru proiectul nostru, a fost că particulele care ar putea constitui materia întunecată pot avea numai momente toroidale, iar invarianța CPT impune ca fermionii Majorana să aibă, de asemenea, doar moment toroidal [7,8,9].  Dacă momentul toroidal corespunde unei observabile, atunci operatorul ar trebui să fie autoadjunct. Într-un articol anterior am arătat că operatorul este hipermaximal (admite extensii autoadjuncte) și a fost găsit un set complet de funcții proprii [10]. În cadrul proiectului, obiectivul este să investigăm aceasta problemă în detaliu, deoarece dacă anumite particule posedă momente toroidale intrinseci, ar trebui să le putem calcula valorile și să vedem dacă sunt precis determinate. Urmează să studiem proprietățile operatorului moment toroidal (autoadjuncție, comutatori, spectru, etc.) și să extindem acest formalism până la a doua cuantificare, având în vedere că ar trebui să putem descrie astfel de particule într-un formalism multi-particulă consistent.

În primul articol trimis spre publicare, am analizat operatorul cuantic care corespunde proiecției momentului toroidal pe axa , folosind un „set natural” de coordinate care ne permite să lucrăm cu o forma matematică mai simplă a operatorului. Aceste transformări între coordinate ne dă posibilitatea să exprimăm operatori familiari, precum poziția, impulsul, Hamiltonianul, în funcție de operatorul moment toroidal. Formalismul prezentat facilitează găsirea altor operatori care comuta cu momentul toroidal (și comuta între ei), deci se pot forma seturi complete de observabile compatibile, cu seturi complete și ortonormate de funcții proprii. Deși expresiile generale sunt destul de complicate, în cazuri specific, relevante din punct de vedere fizic, acestea se simplifică considerabil (de exemplu o particular pe un tor subțire).

 [1] Ya. B. Zeldovich. Electromagnetic interaction with parity violation. Sov. Phys.-JETP, 6:1184, 1958.

[2] V M Dubovik and A A Cheshkov. Form-factors and multipoles in electromagnetic interactions. Sov. Phys.

[3] V M Dubovik and A A Cheshkov. Multipole expansion in classical and quantum field theory and radiation.Sov. J. Particles Nucl., 5.

[4] C. S. Wood, S. C. Bennett, D. Cho, B. P. Masterson, J. L. Roberts, C. E. Tanner, and C. E. Wieman. Measurement

[5] Nikitas Papasimakis, V.A. Fedotov, Vassili Savinov, T.A. Raybould, and N.I. Zheludev. Electromagnetic toroidal

[6] V. V. Flambaum. Nuclear anapole moment and tests of the standard model. AIP Conference Proceedings,477(1):14, 1999.

[7] C. M. Ho and R. J. Scherrer. Anapole dark matter. Phys. Lett. B, 722:341, 2013.

[8] Luis G. Cabral-Rosetti, Myriam Mondragon, and Esteban Reyes-Perez. Anapole moment of the lightest neutralinoin the cMSSM. Nucl. Phys. B, 907:1, 2016.

[9] E. E. Radescu. On the electromagnetic properties of majorana fermions. Phys. Rev. D, 32:1266, 1985.

[10] D. V. Anghel. Mathematical considerations regarding the toroidal momentum operator. J. Phys. A: Math.

 

Calcularea corecțiilor parametrilor materiei intunecate, folosind informatia cuantica

De la începutul proiectului, am studiat metode prin care parametrii care merg dincolo de modelul standard pot fi descriși folosind o metodologia care își are originea în teoria informației cuantice. Pentru a avansa în această direcție de cercetare, am analizat structura de fază a unor sisteme descrise de teorii nonabeliene de etalonare („non-abelian gauge theory”). În particular, am studiat operatorii cu urma simplă, sau dublă, despre care știm că determină geometria găurilor de vierme (geometrie spațio-temporala cu topologie netrivială).

Până în acest moment, am încercat să analizăm acești operatori din perspectiva dualității „string-gauge”. Conform ideilor menționate în [1,2] (dar și în [3]), dacă analizăm din perspectiva unei teorii de etalonare pe o rețea în limita cuplajului tare, atunci excitațiile elementare apar sub forma unor corzi închise formate din fluxuri color-electric. În prezența cuarcilor, aceste corzi închise se deschid și capetele lor se fixează pe cuarci, un fenomen care participă la înțelegerea confinării. În teoriile de etalonare SU(N), interacția dintre corzi este slabă în limita pentru N mare. Aceasta sugerează că în limita continuumului cea mai bună descriere a unei teorii de etalonare impune că liniile de flux (corzile) nu sunt câmpuri. Prin urmare, ne așteptăm ca în cazul general să apară o dualitate exacta între corzi și teoriile de etalonare. Pe de altă parte, super-corzile („superstrings”) pot fi văzute ca linii de flux ale unei teorii de etalonare necunoscute. Din această perspectivă, putem vedea spațiu-timpul ca o structură emergentă într-o limită cvasiclasică a unei teorii abstracte de etalonare, fără o dependență clară de spațiu-timp. Observabilele noastre vor fi setate ca operatori invarianți la etalonare, formați ca produse dintre operatori elementari. Găsirea unei conexiuni dinamice dintre corzi și astfel de operatori (numite „words” în [1]) este o problemă fundamentală a dualității ”string-gauge” care ne duce, printr-un set de cazuri limită, la dualitatea coardă închisă-deschisă („open-closed string duality”) și la AdS/CFT.

De la începutul proiectului, Andrei Pătrașcu a scris articolul [7] în care a prezentat cum se poate construi la modul general un operator (non-local) precursor folosind operatori de bulk. Ideea principală se bazează pe o problemă de referință pentru experimentele cu rețele neuronale [4], așa numita “hat problem” sau “coordinated inference problem”. Aceasta este o problema matematică interesantă, care încearcă sa dezvolte un fromalism de ghicire a anumitor culori, fără a avea nicio informație directă despre acestea, ci numai o metoda uni-dimensionala de semnalizare. Această problemă are o aplicație interesantă în situația descrisă în [6], care implică un pre-aranjament al observatorilor în spațiul „bulk”, desi nu explică exact cum acest pre-aranjament este obținut. Pare că problema conține o tehnică de optimizare care ia ca date inițiale o structură de entanglement și produce operatori non-locali asociați cu observabilele de „bulk”, capabile să prezică structura de „bulk” într-o maniera cauzală. Această procedură se bazează pe rețele neuronale și poate fi folosită pentru a obține noi posibile dualități de tip „string-gauge”. Acest lucru este important în mod special, deoarece permite optimizarea unei teorii de câmp din structura de entanglement și poate duce la concepte specifice teoriei informației cuantice, care determina parametrii unei teorii de câmp dincolo de Modelul Standard.

[1] A. M. Polyakov, Gauge Fields and Space-Time, arXiv hep-th/0110196 (2001)

[2] A. M. Polyakov, Int. Journ. Of Mod. Phys. A 14, 645 (1999) hep-th/9809057

[3] A. M. Polyakov, V. Rychkov, Nucl. Phys. B 581, 116 (2000) hep-th/0002106

[4] J. N. Foerster, Y. M. Assael, N. de Freitas, S. Whiteson, Advances in Neural Information Processing Systems 29 (NIPS 2016)

[5] Christopher S. Hardin, Alan D. Taylor, DOI https://doi.org/10.1007/978-3-319-01333-6

[6] J. Polchinski, L. Susskind, N. Toumbas, Phys. Rev. D60 (1999) 084006

[7] A. T. Patrascu,  arXiv:2010.06364, submitted to Nuclear Phys. B.